Mengenal Himpunan

1.     Pengertian Himpunan

Himpunan adalah sekumpulan objek atau benda yang memiliki karakteristik yang sama atau terdefinisi dengan jelas.

Catatan : Maksud “terdefinisi dengan jelas” adalah objek dalam satu kelompok memiliki kesamaan ciri/sifat/karakteristik sehingga membatasi objek lain tidak ikut sebagai anggota kelompok.

Contoh Himpunan :

a.      Setumpuk buku yang berada di atas meja belajar.

b.     Sekawanan itik yang berbaris menuju sawah.

c.      Sederetan mobil yang antri karena macet.

d.     Kumpulan hewan berkaki empat.

Jika kita amati, semua objek pada contoh di atas dapat didefinisikan secara jelas serta dapat dibedakan mana yang merupakan anggota kumpulan tersebut  dan mana yang bukan

Contoh Bukan Himpunan :

a.      Kumpulan makanan yang lezat

b.     Kumpulan lukisan yang indah

c.      Kumpulan siswa yang pintar

d.     Kumpulan rumah bagus

e.      Kumpulan bau yang wangi

Objek-objek pada kumpulan-kumpulan  di atas tidak dapat didefinisikan dengan jelas dan penafsirannya dapat berbeda-beda.

2.     Notasi dan Keanggotaan Himpunan

·        Penulisan nama himpunan menggunakan huruf capital, semisal A, B, C, dan seterusnya.

·        Anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.

·        Anggota himpunan ditulis di antara tanda “kurung kurawal ({ })”, dan antara anggota yang satu dengan lainnya dipisah dengantanda koma.

·        Dalam penulisan suatu himpunan, anggota himpunan harus berlainan. Dengan kata lain, penulisan anggota himpunan tidak boleh sama atau tidak boleh diulang.

Contoh :

-         A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 5, ditulis A = {1, 2, 3, 4}

-         P adalah himpunan huruf-huruf vocal, ditulis P = {a, e, i, o, u}

·        Anggota himpunan dinotasikan dengan . Adapun yang bukan anggota himpunan dinotasikan dengan .

Contoh :

P = {2, 4, 6, 8, 10} dan

Q = {1, 3, 5}

Maka :

2  P atau “2 anggota himpunan P”

3  P atau “3 bukan anggota himpunan P”

1  P atau “1 bukan anggota himpunan P”

3  Q atau “3 anggota himpunan Q”

3.  Menyajikan Himpunan

Terdapat beberapa cara untuk menyajikan suatu himpunan dengan tidak mengubah makna himpunan tersebut.

Berikut ini beberapa cara menyajikan himpunan.

a.     Menyatakan Sifat Yang Dimiliki Anggotanya

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan atau menuliskan sifat yang dimiliki anggotanya.

Contoh :

A = {Bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8}

B = {Huruf vokal dalam abjad Latin }

b.     Dengan Mendaftarkan Anggotanya (Anumerasi)

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya yang dituliskan dalam kurung kurawal. Objek yang tidak didaftar berarti objek bukan anggota himpunan. Jika anggota himpunan tidak banyak, maka semua anggotanya dapat ditulis. Namun, bila himpunan itu mempunyai anggota yang banyak dan anggotanya memiliki keteraturan maka untuk maka untuk menuliskannya dengan mewakili dengan tiga titik “…”.

Contoh :

A = {1, 2, 3, … , 10}

B = {a, b, c, …,y , z}

c.      Dengan menuliskan Notasi Pembentuk Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan tersebut. Himpunan ini dinotasikan dengan A = { x|syarat yang harus dipenuhi oleh X }.

Contoh :

A = {x |1 < x < 8, x adalah bilangan ganjil}. (Dibaca A adalah himpunan yang anggotanya x, dengan (syarat) x lebih dari 1 dan kurang dari 8 dan x adalah bilangan ganjil)

B = {z |z adalah huruf vokal dalam abjad latin}

Perhatikan contoh lain dari cara menyajikan himpunan berikut !

No.	Dengan Kata-Kata	Dengan Mendaftar Anggotanya	Dengan Notasi Pembentuk Himpunan
a.	A = { Faktor dari 36 }	A = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }	A = {x|x faktor dari 36}
b.	V = { Bilangan prima kurang dari 20 }	V = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 }	V = { x|x < 20, x  bilangan prima }
c.	P = { Bilangan asli yang kurang dari 10 }	P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }	P = { x|x < 10, x  bilangan asli }
d.	Q = { Bilangan cacah kurang dari 6 }	Q = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }	Q = { x|x < 6, x  bilangan cacah }
e.	S = { Bilangan cacah genap yang kurang dari 12 }	S = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 }	S = { x|x < 12, x  bilangan cacah genap }

4.     Kardinalitas Himpunan

Perhatikan himpunan  P, Q dan R berikut.

P = { 5, 10, 15, 20 }

Q = { a, b, c, d, e }

R = { 2, 4, 6, … }

Dari ketiga himpunan tersebut kita temuka hal berikut.

-         Himpunan P memuat 4 anggota yang berbeda maka disebut banyak anggota himpunan P adalah 4 atau sering disebut kardinalitas himpunan P adalah 4, disimbolkan n(P) = 4

-         Himpunan Q memuat 5 anggota, maka kadinalitas himpunan Q adalah 5, disimbolkan dengan n(Q) = 5

-         Himpunan R memuat anggota yang banyaknya tak terhingga, sehingga n(R) = ~ (tak terhingga)

5.     Himpunan Kosong dan Himpunan Nol

a.  Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.

Contoh :

·        K = { bilangan asli antara 9 dan 10 }

·        L = { nama-nama hari yang berawalan huruf  P }

·        M = { bilangan ganjil habis dibagi bilangan genap }

Pada contoh di atas, himpunan K, L, dan M tidak mempunyai anggota. Notasi himpunan kosong, yaitu “ { } atau Ø. Banyaknya himpunan kosong ada 0 (nol). Jadi pada contoh diatas n(K) = 0, n(L) = ), dan n(M) = 0.

b.  Himpunan Nol

Himpunan nol berbeda dengan himpunan kosong. Himpunan yang hanya mempunyai satu anggota, yaitu nol (0) disebut himpunan nol.

Contoh :

R = { x|x < 1, x   C} maka R = {0} atau n(R) = 1